જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 5$,$x + 2y + 2z = 6$,અને $x + 3y + \lambda z = \mu$ (જ્યાં $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$) ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\lambda + \mu$ ની કિંમત શોધો:

$\theta \in (0, 4\pi)$ ની એવી કેટલી કિંમતો છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $3(\sin 3\theta)x - y + z = 2$,$3(\cos 2\theta)x + 4y + 3z = 3$,અને $6x + 7y + 7z = 9$ ને કોઈ ઉકેલ નથી?

ધારો કે $a$ એ $(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$. જો સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $2bx^2+ax+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $c, d, e \in \mathbb{R}$,તો $d:c:e$ બરાબર શું થાય?

જો $x^a y^b=e^m, x^c y^d=e^n, \Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$,હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થાય? ($e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે).

$\alpha, \beta \in [0, 2\pi]$ અને $\gamma \in [0, \pi)$ માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:
$2 \sin \alpha - \cos \beta + 3 \tan \gamma = 3$
$4 \sin \alpha + 2 \cos \beta - 2 \tan \gamma = 2$
$6 \sin \alpha - 3 \cos \beta + \tan \gamma = 9$
તો, નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $AX=D$ એ ત્રણ સુરેખ અસમઘાત સમીકરણોની સંહતિ છે. જો $|A|=0$ અને $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([AD])=\alpha$ હોય, તો